Artículos sobre ciencia y tecnología de Mauricio-José Schwarz publicados originalmente en El Correo y otros diarios del Grupo Vocento

febrero 28, 2015

Bach por números

Johann Sebastian Bach sentado al órgano. Grabado inglés de 1725.
(Imagen D.P. del Museo Británico, vía Wikimedia Commons)
El apellido Bach tiene una expresión musical.

En el sistema alemán de entonces, las notas se representaban mediante letras, como se sigue haciendo en los países anglosajones. Así, la letra B representaba el si bemol, la A representaba el la, la C representaba el do y la H correspondía al si. Y si hacemos sonar las notas “si bemol, la, do, si”, estamos expresando el apellido Bach en una pequeña melodía.

Por supuesto, Johann Sebastian Bach, así como sus hijos (cuatro de los cuales tuvieron distinguidas carreras como músicos) estaban conscientes de esa relación, y el tema, hoy conocido como “motivo Bach” fue utilizado en numerosas ocasiones por el compositor, como en el segundo Concierto de Brandenburgo, en las Variaciones Canónicas para órgano y en el contrapunto inconcluso del Arte de la Fuga.

De hecho, uno de sus hijos solía contar que la muerte del compositor se produjo precisamente cuando escribió esas notas en el pentagrama, historia apasionante pero improbable. Como fuera, los hijos de Bach también usaron ese criptograma musical en numerosas ocasiones, y después fue retomado por los admiradores del compositor en literalmente cientos de piezas, algunos tan conocidos como Robert Schumann, Franz Liszt o Arnold Schoenberg.

Además, según un sistema numerológico místico que le da a las letras un número de acuerdo a su posición en el alfabeto, las letras del apellido “Bach” tienen el valor “14” (2+1+3+8), y las supersticiones también le atribuían un gran valor al inverso de ese número, en este caso “41”. Bach, como hombre de su tiempo, estaba muy consciente de ello, como lo estaba del simbolismo de los números en términos de la religión cristiana. Entre los luteranos, iglesia a la que pertenecía, el simbolismo desarrollado por San Agustín era ampliamente conocido y utilizado. El 3, así, era la representación de la santísima trinidad, y por tanto los creadores hacían esfuerzos, sobre todo en la música sacra, de que sus obras se relacionaran con el 3. El 10 se relacionaba inevitablemente con los diez mandamientos y el 12 con los apóstoles, mientras que el 7 se refería a la gracia y al Espíritu Santo.

Es indudable que Bach, como compositor eminentemente sacro, conocía estos simbolismos y muy probablemente los utilizó en distintos momentos en sus obras. Sin embargo, resulta muy difícil, si no imposible, desentrañar cuándo lo hizo voluntariamente y cuándo el número no era considerado por el propio compositor como significativo.

Resulta muy aventurado pensar que las obras de Bach ocultan un significado numerológico, aunque así lo hayan sugerido algunos autores. Se puede tomar cualquier elemento de una composición de cualquier músico (las notas, el número de compases, los intervalos, la relación entre notas, etc.) y buscar una correlación con algún número o relación matemática o palabra codificada. En más de 1.100 obras conocidas de Bach, un buscador concienzudo puede encontrar, virtualmente, lo que sea. Incluso las dimensiones de la pirámide de Giza.

La relación de Bach con los números se encuentra más bien en la proporción, en los juegos de las notas y las armonías que producen de acuerdo con las reglas de la música que descubrió y describió Pitágoras, en las numerosas obras donde su interpretación de las matemáticas de la música es de un dominio absoluto aún si no fuera consciente.

Pero aún si Bach no intentara conscientemente aplicar las matemáticas a su trabajo como compositor, estudiosos posteriores han encontrado notables relaciones entre la música y los números, sean las ecuaciones de la geometría fractal apenas descrita en la década de 1970 o series de números con significado matemático especial, como la de Fibonacci.

Su propio hijo, Carl Philipp Emanuel, le dio al biógrafo de su padre, Forkel, “el fallecido (su padre), como yo o cualquier otro verdadero músico, no era un amante de los asuntos matemáticos secos”.

Aunque así fuera, Bach había pertenecido a una sociedad científico-musical fundada por su alumno, el médico, matemático y compositor polaco Lorenz Christoph Mizler. La sociedad buscaba que los músicos intercambiaran ideas teóricas y trabajos sugerentes. Cada año, los miembros debían presentar una disertación o una composición, y en 1748, Bach envió a la sociedad su Ofrenda musical, una serie de cánones, fugas y sonatas en la que destaca el que el propio Bach llamó Canon del cangrejo, cuya relevancia matemática no podía escapársele.

Es una pieza para cuerdas donde se tocan dos melodías, como en cualquier contrapunto, pero una de las melodías es exactamente la imagen en espejo de la otra. Es como si un violín tocara la primera melodía y el segundo también, pero empezando por el final y siguiendo en orden inverso, de modo que cuando la primera llega al final, la segunda llega al principio, en una especie de palindromo musical. Esta hazaña musical (y matemática) se ve complementada con la última pieza de la serie, el Canon perpetuo que al terminar puede volverse a comenzar una octava más arriba, ascendiendo, teóricamente, hasta el infinito.

Quizá se pueda aplicar a Bach la frase del matemático alemán, y su contemporáneo, Gottffried Leibniz, quien afirmó que “La música es un ejercicio aritmético oculto del alma, que no sabe que está contando”.

Pero si Bach no sabía que estaba haciendo matemáticas, las hizo extraordinariamente bien.

El temperado o afinación

Siguiendo los principios matemáticos pitagóricos que regían la música, los instrumentos como el clavecín y el órgano se afinaban o temperaban para tocar en un tono determinado, digamos Sol, y si había que interpretar una pieza en otro tono, digamos Re, era necesario volverlo a afinar. Si no se hacía esto, algunas notas sonaran mal porque sus intervalos no eran perfectos. Bach desarrolló un sistema de afinación igualando logarítmicamente los intervalos entre todas las notas de la escala, lo que permite afinar un instrumento de modo que pueda interpretar piezas en todos los tonos sin volver a afinarse. Es lo que se llamó el “buen temperamento”, ejemplificado precisamente en las obras de “El clavecín bien temperado”.