Artículos sobre ciencia y tecnología de Mauricio-José Schwarz publicados originalmente en El Correo y otros diarios del Grupo Vocento
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marzo 06, 2010

Los números de los mayas

Numerales mayas del 1 al 29.
(CC via Wikimedia Commons)
La asombrosa matemática maya y sus estrecha relación con la astronomía son fuente de asombros por sus logros... y de temores infundados por parte de quienes poco conocen de esta cultura.

De todos los aspectos de la cultura maya, desarrollada entre el 1800 a.C. y el siglo XVII d.C., uno de los más apasionantes es sin duda el desarrollo matemático que alcanzó este pueblo.

El logro que se cita con más frecuencia como punto culminante de la cultura maya es el cero. El cero ya existía como símbolo entre los antiguos babilonios como indicador de ausencia, pero se perdió y no se recuperaría sino hasta el siglo XIII con la numeración indoarábiga.

El cero era de uso común en las matemáticas mayas, simbolizado por un caracol o concha marina, fundamental en su numeración de base vigesimal. Es decir, en lugar de basarse en 10, se basaba en el número 20, quizá por los veinte dedos de manos y pies.

Sin embargo, hay indicios de que los mayas, aunque lo aprovecharon y difundieron, no fueron los originadores del cero en Mesoamérica. Probablemente lo recibieron de la cultura ancestral de los olmecas, desarrollada entre el 1400 y el 400 antes de nuestra era. Los olmecas fueron, de hecho, los fundadores de todas las culturas mesoamericanas posteriores (incluidas la azteca o mexica y la maya, entre otras), aunque por desgracia no contaban con escritura, por lo que siguen siendo en muchos aspectos un misterio.

El otro gran logro maya fue la utilización del sistema posicional, donde el valor de los números cambia de acuerdo a su posición. El punto que representa uno en el primer nivel, se interpreta como veinte en el segundo nivel y como 400 en el tercero, como nuestro “1” puede indicar 10, 100 o 1000.

Los números mayas se escribían con puntos y rayas. Cada punto era una unidad, y cada raya representaba cinco unidades. Así, los números 1, 2, 3 y 4 se representaban con uno, dos, tres y cuatro puntos, mientras que el cinco era una raya. Cuatro puntos adicionales sobre la raya indicaban 6, 7, 8 y 9, y el diez eran dos rayas una sobre la otra. Así se podía escribir hasta el número 19: tres rayas de cinco unidades cada una y cuatro puntos unitarios. Al llegar allí, se debía pasar a la casilla superior, del mismo modo que al llegar a 9 nosotros pasamos al dígito de la izquierda. El número 20 se escribía con un punto en la casilla superior (que en esa posición valía 20 unidades) y un cero en la inferior.

El sistema funcionaba para cifras de cualquier longitud y permitía realizar cálculos complejos con relativa facilidad si los comparamos con los mismos cálculos utilizando números romanos.

El desarrollo de las matemáticas entre los mayas se relacionó estrechamente con su pasión astronómica, producto a su vez de la cosmovisión religiosa de su cultura. Su atenta y minuciosa observación y registro de los diversos acontecimientos de los cielos llevó a los mayas a tener cuando menos 17 calendarios distintos referidos a distintos ciclos celestes, como los de Orión, o los planetas Mercurio, Venus, Marte Júpiter y Saturno, que se interrelacionaban matemáticamente.

Pero los dos calendarios fundamentales de los mayas eran el Tzolk’in y el Haab.

El calendario sagrado, el Tzolk’in se basa en el ciclo de las Pléyades, de 26000 años, generando un año de 260 días dividido en cuatro estaciones de 65 días cada una. Cabe señalar que las Pléyades, grupo de siete estrellas de la constelación de Tauro, atrajeron la atención de numerosos pueblos, como los maorís, los aborígenes australianos, los persas, los aztecas, los sioux y los cheroqui. A los recién nacidos se les daba su nombre a partir de cálculos matemáticos basados en un patrón de 52 días en este calendario.

El Haab, por su parte, era civil y se utilizaba para normar la vida cotidiana. Su base es el ciclo de la Tierra y ha sido uno de los motivos de admiración del mundo occidental, pues resultaba altamente preciso con 365,242129 días, mucho más preciso que el Gregoriano que se utiliza en la actualidad. Nosotros tenemos que hacer un ajuste de un día cada 4 años (con algunas excepciones matemáticamente definidas), mientras que los mayas sólo tenían que hacer una corrección cada 52 años.

La interacción matemática de los años de 260 y 365 días formaba la “rueda calendárica”. Los pueblos mesoamericanos se esforzaban por hacer calendarios no repetitivos, donde cada día estuviera identificado y diferenciado. Esto lo hacemos nosotros numerando los años, de modo que el 30 de marzo de 1919 no es igual al 30 de marzo de 2006. Los mayas no numeraban los años, y cada día se identificaba por su posición en ambos calendarios, el sagrado y el civil, de modo que un día concreto no se repetía sino cada 18.980 días o 52 años.

Los mayas usaban también la llamada “cuenta larga”, un calendario no repetitivo de más de 5 mil años que señalaba distintas eras. La era actual comenzó el 12 ó 13 de agosto del 3114 antes de nuestra era y terminará alrededor del 21 de diciembre de 2012. Esta cuenta larga utiliza varios grupos de tiempo: kin (día), uinal (mes de 20 kines), tun (año de 18 uinales, 360 días), katún (20 tunes o 7200 días) y baktún (20 katunes o 144.000 días).

Cada fecha se identifica con cinco cifras, una por cada grupo de tiempo. La fecha 8.14.3.1.12 que aparece en la placa de Leyden, por ejemplo, indica el paso de 8 baktunes, 14 katunes, 3 tunes, 1 uinal y 12 días desde el comienzo de la era. Convertidos todos dan 1.253.912 días, que divididos entre los 365,242 días del año nos dan 3.433,1 años, que restados de la fecha de inicio de la era nos da el año 320 de nuestra era.

Esta proeza matemática, por cierto, ha sido malinterpretada por grupos de nuevas religiones. Dado que esta era maya termina hacia el 21 de diciembre de 2012, se ha hablado de una inexistente “profecía maya” que señala ese día como el fin del mundo. Ninguna estela, códice o resto maya indican tal cosa. Sólo señalan que matemáticamente ese día termina una era, y al día siguiente, como ha pasado al menos cinco veces en el pasado según creían los mayas (en cinco eras), comenzará una nueva era. Como el 1º de enero comienza otro año para nosotros y el mundo no se acaba el 31 de diciembre.

El trabajo detrás de la precisión


El calendario lunar maya, Tun’Uc, tenía meses de cuatro semanas de 7 días, una por cada fase lunar. Los mayas calcularon el ciclo lunar en 29,5308 días, contra los 29,5306 calculados hoy, una diferencia de sólo 24 segundos. Para conseguir este cálculo, los mayas usaron sus matemáticas además de una aproximación científica. Al contar sólo con sistemas de observación directos, los astrónomos mayas registraron minuciosamente 405 ciclos lunares durante 11.960 días, más de 30 años de observaciones que, tratadas matemáticamente, permitieron la precisión que aún hoy nos asombra.

enero 03, 2009

El vario contar del tiempo

Siempre hemos querido saber no sólo dónde estamos, sino cuándo, respecto del universo y de nosotros mismos. Pero un año no siempre ha durado un año.

Los ciclos que nos rodean captaron poderosamente captaron la atención de los seres humanos en los albores de la civilización. El día y la noche, las estaciones, los solsticios y equinoccios, el nacimiento y la muerte, la floración de las plantas, las mareas, las fases de la luna y otros.

Desde entonces, el hombre dedujo que el universo estaba sometido a un orden que podía comprenderse. Esta apreciación tenía sus propios peligros. De una parte, el hombre trató de encontrar orden y relación entre cosas que no los tenían. ¿Acaso no era posible que las entrañas de los animales tuvieran escrito de modo codificado el futuro del reino o el resultado de la próxima batalla? ¿Y la posición de las estrellas no podría indicar o causar que alguien se enamorara, triunfara en los negocios o se rompiera la nariz? Las supersticiones más diversas nacieron de este sueño de que todo estuviera interconectado de un modo predecible y comprensible. Es la llamada “magia representativa”, donde se espera que un hecho representado mágicamente, simbólicamente, como clavarle una aguja a un muñeco que representa a un enemigo, tenga el mismo efecto en la realidad.

De otra parte, estas mismas ideas de orden previsible provocaron el deseo humano de encontrar, de modo real y comprobable, las relaciones entre los distintos ciclos . La sucesión de acontecimientos en el sol y la luna, por ejemplo, debían tener alguna relación oculta, de modo que surgieron diversos intentos por conciliar el año solar y el año lunar, e incluso otros ciclos astronómicos diferentes. Éste es el origen de todos los calendarios humanos.

Uno de los calendarios más complicados de la antigüedad fue el maya, que es, de hecho, varios calendarios a la vez. Empieza con dos: el tzolkin, de 260 días, que regía el ceremonial religioso, con 20 meses de 13 días, y el haab, de 365 días, con 18 meses de 20 días y cinco días “sobrantes”. Al combinar, como ruedas dentadas, estos dos calendarios, se obtenía un ciclo mayor de 18.980 días, la “rueda calendárica” o siglo de 52 años presente en varias culturas mesoamericanas. Finalmente, los mayas tenían la “cuenta larga” de 5112 años, que partía del 11 de agosto del año 3114 del calendario gregoriano y terminará alrededor del 20 de diciembre de 2012, para reiniciarse al día siguiente. A estos calendarios se añadían la “Serie Lunar” de las fases de la luna y el “Ciclo de Venus” de 584 días, fundamentalmente astrológico.

El calendario hebreo, por su parte, es lunisolar, es decir, se basa en doce meses lunares de 29 o 30 días, intercalando un mes lunar adicional siete veces cada 49 años para no desfasarse demasiado del ciclo solar, y afirma iniciar su cuenta un año antes de la creación. Muy similar resulta, en su estructura, el calendario chino, con 12 meses lunares y un mes adicional cada dos o tres años, según determinadas reglas. Estas reglas no eran necesarias, sin embargo, para el abuelo del calendario gregoriano que empleamos en la actualidad: tenía un año de 12 meses lunares y se añadía por decreto un mes adicional cuando el desfase entre el año lunar y el solar era demasiado notable.

Los romanos tomaron y adaptaron su calendario del calendario lunar de los Griegos, con diez meses de 30 o 31 días para un año de 304 días y 61 días de invierno que quedaban fuera del calendario. Como primer año, eligieron el de la mítica fundación de Roma por parte de Rómulo y Remo. Para que todos los meses tuvieran días nones, lo que consideraban de buena suerte, Numa Pompilio añadió al final del año los meses de enero y febrero al final del año y cambió los días de cada mes para tener un año de 355, y sólo febrero tenía días pares: 28.

En el año 46 antes de Cristo según nuestro calendario, Julio César volvió a reformar el calendario, con 365 días y un año bisiesto cada cuatro años, en el que se añadía un día a febrero, y se determinó el 1º de enero como el comienzo del año, lo cual ya tiene un enorme parecido con nuestra cuenta de los días. Este calendario nació, al parecer, de la consulta con el astrónomo Sosígenes de Alejandría, conocedor del año tropical o año solar verdadero. El año juliano tenía así un promedio de 365 días y un cuarto de día, mucho más preciso que sus predecesores.

Sin embargo, el sistema de añadido de los días en años bisiestos no fue seguido con exactitud, de hecho, el que un año fuera o no bisiesto acabó siendo una decisión personal de sucesivos pontífices, y entre sus defectos de origen y el desorden de los bisiestos, el desfase entre el calendario y el año tropical se había vuelto problemático. Echando mano de un científico, el calabrés Aloysius Lilius, el papa Gregorio XIII promulgó el calendario gregoriano en 1582, con un sistema mucho más preciso de asignación de los años bisiestos de un modo complejo pero matemáticamente más exacto: “Todos los años divisibles entre 4 son bisiestos, excepto los que son exactamente divisibles entre 100; los años que marcan siglos que sean exactamente divisibles entre 400 siguen siendo bisiestos”.

La adopción del calendario gregoriano no fue inmediata salvo por España, Portugal, la Comunidad polaco-lituana y parte de Italia. Poco a poco, primero los países europeos y después el lejano oriente adoptaron este calendario como una representación adecuada del año, además de que unificaron los sistemas comerciales y las fechas históricas. Es bien conocido que Rusia no lo adoptó sino hasta después de la revolución soviética, de modo que el día siguiente al 31 de enero de 1918 (calendario juliano) fue el 14 de febrero. El último país en adoptarlo fue Turquía, bajo el mando modernizador de Kemal Ataturk, en 1926.

Sin embargo, en este muy preciso calendario tropical o solar, una serie de hechos nos recuerdan su origen lunar: las semanas de 7 días (duración de una fase lunar), los festejos de la Pascua y la Semana Santa (entre otras fechas litúrgicas), así como la Pascua Judía o el Año Nuevo Chino, se calculan según los antiguos calendarios lunisolares, aunque nunca se logró hacer coincidir, con precisión, el ciclo lunar y el del sol.

El problema del inicio


Dionisio el Exiguo calculó en Roma, por métodos que desconocemos, el año del nacimiento de Cristo, situándolo 525 años antes y propuso así una nueva forma de notación de los años en lugar de la que contaba por los años de reinado. La reforma se hizo popular al paso del tiempo y finalmente se adoptó hacia el siglo X. Hoy sabemos que, según los datos que tenemos, el nacimiento de Cristo, de ser un hecho histórico, pudo ocurrir en cualquier momento entre el 18 y el 4 antes de la era común. O sea que bien podríamos estar en el 2013 o incluso en el 2027.